Решаем КДР по ГЕОМЕТРИИ

        В этом году ученики восьмых классов первый раз будут писать КДР по геометрии. Предлагаю разобрать один из вариантов диагностической работы, проходившей в мае 2012 года. К каждому заданию для наглядности необходимо сделать маленький чертёж. Помните, что грамотный чертёж – основа правильности выполнения заданий по геометрии.

1. В треугольнике ABC основание AC=10. Найти длину отрезка MN, который является средней линией данного треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

Решение: Вспомним теорему – средняя линия, соединяющая середины двух данных сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна её половине. Отсюда делаем вывод, что MN=1/2AC. Ответ: MN=5.

2. ABC прямоугольный треугольник со сторонами 8, 15, 17. Найдите синус угла треугольника ABC, лежащий против большего катета.

Решение: Гипотенуза треугольника равна 17, значит катеты соответственно 8 и 15. Начертив маленький чертеж, находим угол, лежащий против катета 15. Так как синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то синус искомого угла равен 15/17.

3. ABCD – параллелограмм. AC его диагональ. Угол BAC равен 50⁰, угол ADC равен 110⁰. Найдите угол DAC.

Решение: Начертите чертеж по описанным в задании данным. Диагональ  AC делит параллелограмм на два треугольника ABC и CDA. Угол BAC  равен углу DCA ( т.к. они накрест лежащие ), следовательно угол DCA=50⁰  . Рассмотрим треугольник DCA. Сумма углов любого треугольника равна 180⁰, два угла нам уже известны, найдем третий 180⁰ – (110⁰+50⁰)= 20⁰.

4. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45⁰. Меньшая боковая сторона и меньшее основание равны по 10 см. Найти большее основание.

Решение: Сделайте чертеж, обозначив большее основание AD, меньшее BC. Из условия BC=10 см., AB=10 см. Угол ADC=45⁰, угол BAD= 90⁰. Найти основание AD. Из точки  C проведем на основание AD высоту CK. Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник CKD. Так как углы при основании данного треугольника равны 45⁰, то можем сделать вывод, что он равнобедренный.  Следовательно CK=KD=10 см. Основание AD=AK+KD.  Так как AK=BC=10 см (ABCK-квадрат), KD=10см (из предыдущих рассуждений), то AD=10+10=20(см).

5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4. Гипотенуза равна 15. Найти периметр этого треугольника.

Решение: Обозначим длины катетов треугольника как 3x и 4x и составим уравнение, используя теорему Пифагора: (3x)²+(4x)²=15². Решив уравнение, находим x=3. Отсюда вычисляем стороны треугольника – 9 и 12. Следовательно периметр P=9+12+15=36.