Контрольная по геометрии: аннотация + задачи №5 и №6 (решения).

Давайте обсудим предстоящую КДР по геометрии для 8 класса. Из  аннотации видно, что работа будет состоять из 6 заданий.

В заданиях 1-4 нужно будет лишь выбрать ответ, в задании 5 записать краткий ответ, а вот в последнем 6 задании предстоит  проверка знания теоремы Пифагора. За первые пять заданий можно получить по 1 баллу, а вот за полное и обоснованное решение задания №6 – 2 балла. Максимально можно набрать 7 баллов.

Подбирая материалы для подготовки к контрольной, нашла КДР 2011 года. Мне кажется, что она максимально соответствует прилагаемой аннотации.

Задания 1-4 решаются практически устно. Моя рекомендация – всегда, к каждому, даже самому простому заданию, делать маленький чертеж с указанием исходных данных. Это поможет наглядно представить задачу и не ошибиться с ответом. Предлагаю решение задач №5 и № 6 вариантов 4 и 5.

ЗАДАЧА 5 (вариант 4). В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и AD угол B равен 135°, BС = 6, AD = 14. Найдите высоту трапеции.

Рис. 1

РЕШЕНИЕ. На рисунке 1 черным цветом указаны исходные данные. Проведем высоту BK. Угол, образованный этой высотой с основанием BC трапеции, равен 90⁰. Рассмотрим треугольник BKA. Угол ABK находим так: 135⁰ – 90⁰ = 45⁰. Так как сумма углов треугольника равна 180⁰, то угол BAK равен 45⁰. Значит треугольник BKA равнобедренный (на рисунке красным цветом отмечены найденные углы и указано равенство сторон равнобедренного треугольника). Найдем сторону AK: (14 – 6):2=4. BK=AK=4.

Ответ: 4.

ЗАДАЧА 5 (вариант 5). В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и AD угол B равен 120°, BС = 6, AD = 14. Найдите боковую сторону трапеции.

Рис.2

РЕШЕНИЕ. На рисунке 2 черным цветом указаны исходные данные. В отличие от предыдущей задачи, при рассмотрении треугольника BKA находим, что угол ABK равен 30⁰. Здесь для дальнейшего решения надо вспомнить правило: в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30⁰ равен половине гипотенузы (на рисунке красным цветом обозначены сделанные выводы). Находим AK: (14 – 6):2=4. Отсюда AB=4×2=8.

Ответ: 8.

ЗАДАЧА 6 (вариант 4). В параллелограмме большая сторона равна 25, меньшая высота равна 12, меньшая диагональ 20. Найдите угол между этой диагональю и меньшей стороной.

Рис.3

РЕШЕНИЕ. На рисунке 3 показан параллелограмм MKPT, его диагональ KT и высота  KD. Задача решается с использованием теоремы Пифагора.

1.    Рассмотрим треугольник TKD. По т. Пифагора: 20²=12²+x². Откуда x=16.

2.    MT=KP=25. Следовательно MD=25–16=9. Рассмотрим треугольник MKD. Гипотенуза MK равна: z²=12²+9². Откуда  z=15.

3.    Для нахождения угла предположим, что треугольник MKT прямоугольный и угол MKT- прямой. Так как т. Пифагора выполняется: 25²=20²+15² (равенство верное), то наше предположение верно, из чего следует, что угол MKT=90⁰.

Ответ: 90⁰. 

Задачи №6 похожи одна на другую, в чем можно убедиться, посмотрев варианты КДР 2011 года. Главное знать, что теорема Пифагора позволяет в прямоугольном треугольнике найти сторону, зная две друге стороны. В этом году вариантов будет четыре. Желаю успехов!