Предлагаю решение пятого
варианта КДР по геометрии 2012 года, для
учащихся 8 классов. Варианты КДР по геометрии 2012 года можно посмотреть здесь
ЗАДАЧА 1. ABCD – прямоугольник. О - точка пересечения АС и BD. Угол BOC=120º. Найдите угол DАО ( см. рис. 1 ).
ЗАДАЧА 1. ABCD – прямоугольник. О - точка пересечения АС и BD. Угол BOC=120º. Найдите угол DАО ( см. рис. 1 ).
Рис.1 |
Решение.
Угол DAO
можно найти, рассмотрев треугольник DOA. Треугольник равнобедренный. Угол DOA равен углу BOC, так как они вертикальные. Сумма
углов при основании треугольника DOA равна 180-120=60.
Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то искомый угол DAO равен 60/2=30. Ответ: 300.
ЗАДАЧА 2. Дан треугольник АВС. KF – средняя
линия треугольника АВС. АВ=10, ВС=8, АС=12. Найдите периметр треугольника BKF (см.
рис. 2).
Рис.2 |
Решение. Для решения достаточно вспомнить, что
средняя линия треугольника равна половине его основания. Следовательно KF=12:2=6. Из определения средней линии
следует, что KB=10:2=5;
а BF=8:2=4. Находим
периметр треугольника BKF P=5+4+6=15.
ЗАДАЧА 3. АВС – прямоугольный треугольник со
сторонами 6, 8, 10. Найдите косинус угла треугольника АВС, лежащего против
меньшего катета.
Рис. 3 |
Решение. Начертим
рисунок по заданному условию. Так как гипотенуза прямоугольного треугольника
всегда больше его катетов, то сторона, равная 10 – это гипотенуза. Катеты
расположим произвольно (см. рис. 3). На чертеже отметим искомый угол. Косинусом угла прямоугольного треугольника
называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Т.е. 8/10.
ЗАДАЧА 4. ABCD – параллелограмм. АС – его диагональ.
Угол BCА=35º, угол ADC=100º. Найдите угол АСD.
Рис.4 |
Решение. Составляем чертеж по условию (см. рис.
4). При параллельных прямых BC и AD, и секущей AC, углы BCA и DAC являются внутренними накрест лежащими
углами. Эти углы равны, следовательно угол DAC=350. Рассмотрим
треугольник ADC.
Сумма углов треугольника равна 1800. Два угла нам известны, найдем
третий 180 - (100+35)=45. Ответ: 450.
ЗАДАЧА 5. В прямоугольной трапеции большая боковая
сторона и большее основание равны по 20 см, острый угол равен 60º. Найдите
меньшее основание.
Рис.5 |
Решение. По условию задачи составим чертеж (см.
рис. 5). Проведем отрезок BK,
параллельный отрезку CD.
Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник ABK.
Теперь
осталось найти меньшее основание BC= AD-AK=20-10=10.
Задачу можно решить намного проще, если вспомнить, что в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30º ( угол ABK) равен половине гипотенузы. Следовательно AK=10. Отсюда находим, что BC=10.
Ответ: 10 см.
ЗАДАЧА 6. Катеты прямоугольного треугольника
относятся как 8:15, гипотенуза равна 51. Найдите периметр этого треугольника.
Решение. Приведу решение без предварительного
составления чертежа. Катеты прямоугольного треугольника равны 8x и 15x. Используя теорему Пифагора, получим:
512=(8x)2+(15x)2. Решив данное уравнение,
получим, что x=3.
Следовательно стороны треугольника равны соответственно 24 и 45.
Если
у кого-то есть интересные задачи КДР по геометрии прошлых лет для
восьмиклассников, то просьба поделиться. Порешаем…
ЗАДАЧА 7. В параллелограмме большая сторона равна
25 . Меньшая высота равна 12. Меньшая
диагональ - 20. Найдите угол между этой диагональю и меньшей стороной.
Рис.6 |
Решение. По условию составляем чертеж.
Рассмотрим треугольник BKD.
По теореме Пифагора находим KD:
202=122+x2. Откуда x=16. Отрезок AK=AD-KD=25-16=9. Теперь, рассмотрев
треугольник ABK,
по т. Пифагора найдем меньшую сторону AB=15. Для нахождения угла BDC перейдем к треугольнику BDC, где убеждаемся, что теорема
Пифагора, а именно 252=202+152, нам
показывает, что наш треугольник прямоугольный, следовательно, искомый угол
равен 900. Ответ: 900.
ЗАДАЧА 8. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О.
Угол AOD
равен 1100.
Угол DBC
равен 300. BD=2AB. Найти углы параллелограмма.
Рис. 7 |
Решение. По условию составляем чертеж. Черным
на чертеже показаны исходные данные. Красным – то, что мы находим. Немного
поясню. 1. Угол BOC=1100
(свойство вертикальных углов). 2. Рассматриваем треугольник BOC и находим неизвестный угол BCO (400). 3. Угол DAO=BCO=400; угол CBO=ADO=300 (внутренние накрест
лежащие углы). 4. По условию AB=BO, следовательно треугольник ABO равнобедренный. Углы при основании равнобедренного
треугольника равны. Значит BAO=DCO=700. Осталось только
записать ответ. Ответ: Угол A=C=1100; угол B=D=700.
ЗАДАЧА, предложенная в комментариях к посту. На стороне АD параллелограмма АВСD взята точка Е так, что АЕ = 4, ЕD = 5, ВD = 13. Докажите, что треугольник ВЕD прямоугольный, и найдите площадь параллелограмма.
ЗАДАЧА, предложенная в комментариях к посту. На стороне АD параллелограмма АВСD взята точка Е так, что АЕ = 4, ЕD = 5, ВD = 13. Докажите, что треугольник ВЕD прямоугольный, и найдите площадь параллелограмма.
Спасибо, что напомнили некоторые правила! Это должно помочь, наверное...
ОтветитьУдалитьв параллелограмме большая сторона = 25 . меньшая высота = 12. меньшая диагональ 20. найдите угол между этой диагональю и меньшей стороной
ОтветитьУдалитьРешения предложенных задач можно посмотреть в дополнении к этой статье. Спасибо за интересные условия.
УдалитьНайдите площадь прямоугольного треугольника если его катеты равны а)4 см и 11см; 1,2 дм и 3 дм.
УдалитьУважаемый Аноним. Я найду то, что мне нужно. А вы?
УдалитьНе лучше ли вам за разъяснениями способов решения элементарных задачек обратиться к вашему учителю. Пользы будет намного больше, чем от виртуального общения.
2.в параллелограмме авсд диагонали пересикаются в точке О.угол аод = 110 угол двс = 30 и вд=2ав.найти углы паралелограмма
ОтветитьУдалитьв равнобедреной трапеции авсд с основаниямми вс и ад угол в = 135 вс=6 ад=14..найти высоту трапеции
ОтветитьУдалитьА эта задачка решается устно. Ответ 4. Попробуйте начертить чертеж по условию, как я всегда советую своим ученикам. Если не получится - покажу решение.
УдалитьСудя по всему, господин анононим, Вы интересуетесь математикой, но не мешало бы изучить, что в математике обозначается маленькими латинскими буквами, а кроме того изучить правописание.
ОтветитьУдалитьспасибо вам БОЛЬШОЕ!
ОтветитьУдалитьЯ вот читал задачи... И не понял несколько моментов.
ОтветитьУдалитьЗадача №7:
...перейдем к треугольнику BDC, где убеждаемся, что теорема Пифагора нам показывает, что наш треугольник прямоугольный... Что из этой теоремы указывает на то, что BDC - прямоугольный?
Задача №8:
А как вы нашли, что угол BOA-70 градусам?
Задача №8. Сумма углов BOC, COD, DOA и AOB равна 360 градусов. Следовательно 360- 110x2=140. Так как вертикальные углы BOA и DOC равны, то делим 140 на 2, получаем 70 градусов.
ОтветитьУдалитьЗадача №7. В треугольнике BDC никакие углы не известны, следовательно, для нахождения искомого угла можно предположить, что треугольник прямоугольный. Это мы и пытаемся доказать, применив теорему Пифагора. Так как равенство получается верным, то верно и наше предположение и следовательно угол действительно 90 градусов.
помогите решить задачи пожалуйста.1)Стороны параллелограмма относятся как 1:2 ,а его периметр =30 см .Найди стороны параллелограмма.2)В равнобедренной трапеции сумма углов при большем основании равна 96 градусов .Найти углы трапеции.
ОтветитьУдалитьНемного удивлена, что столь легкие задачи вызвали сложность.
Удалить1. Одна сторона – x, другая - 2x. Сумма сторон x+x+2x+2x=30, т.к. 30 – периметр. Решая, получим x=5 (меньшая сторона), большая, соответственно – 10.
2. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, следовательно 96:2=48 – углы при основании. Сумма двух других углов равна 360-96=264 . Итак, углы трапеции 48, 48, 132, 132.
спасибо вам большое
ОтветитьУдалитьпожалуйста помогите мне с задачей срочно нужно исправить 3 на 4 .ABCD-прямоугольник,E-середина AB,угол BAC=50 градусов НАЙТИ EOD
ОтветитьУдалитьОльга, в задаче не хватает данных относительно точки О. Что она из себя представляет? Если это точка пересечения диагоналей прямоугольника, то искомый угол - 140 градусов.
УдалитьПомогите пожалуйста Решить неравенство 4 − 5x ≤ 9
ОтветитьУдалитьУважаемый Аноним. За помощью в решении таких неравенств, очень лёгких, лучше обратиться к вашему учителю. Поверьте, это самый лучший выход из положения. В дальнейшем неравенства и их системы не будут вам казаться сложными.
УдалитьПомогите решить пожалуйста:
ОтветитьУдалитьВ выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О,причём угол ABO=угол CDO; BO=OD.Периметр треугольника AOB равен 17 см; BC=9 см; CD=6 см.
1) Докажите,что четырехугольник ABCD-параллелограмм.
2)Найдите периметр треугольника AOD
Дарья, предлагаю более интересный вариант - я даю подсказку, а вы оформляете окончательно решение. Идет?
Удалить1). Раз надо доказать, что фигура – параллелограмм, то надо воспользоваться для доказательства свойствами данной фигуры. Первое: диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам (в вашем условии есть на этот указание). Второе: противолежащие стороны параллелограмма параллельны. Здесь надо рассмотреть предположительно параллельные стороны ВС и AD и секущую BD. Углы ABO и CDO по условию равны, следовательно они внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Вывод: ВС и AD параллельны. Советую сделать чертеж и провести доказательство, используя эти данные.
2). Насчет чертежа сказала не просто так, если вы его сделали, то продолжим. Обозначим BO=x, AO=y. Периметр – сумма всех сторон, значит 6+x+y=17 (по условию). Отсюда x+y= 17-6=11. Рассмотрим треугольник AOD, сумма его сторон 9+x+y=9+11=20.
Желаю успехов.
Спасибо вам:)
ОтветитьУдалитьПомогите, пожалуйста, с такой задачей: 4. На стороне АD параллелограмма АВСD взята точка Е так, что АЕ = 4, ЕD = 5, ВD = 13. Докажите, что треугольник ВЕD прямоугольный, и найдите площадь параллелограмма. Затруднение вот в чём: если предположить, ВЕ - перпендикуляр, то по теореме Пифагора находим, что ВЕ=12. Но является ли тот факт, что нашлось такое число, доказательством, что этот треугольник - прямоугольный?
ОтветитьУдалитьАндрей, зайдите по ссылке . Я вам решила эту "красивую" задачу (она размещена последней к посту), а вот подойдет ли такой способ зависит от того, проходили ли вы векторы.
Удалитьпомогите
ОтветитьУдалитьдан треугольник h=4,8 c=10 найти a,b,Ac,Bc
Дарья, извините, не совсем поняла условие, хотя догадываюсь о чем вы пишете. Какой это треугольник? Может быть прямоугольный? Если задача для 8 класса, то мне кажется, что вы что-то упустили в условии. Можно поподробнее? Высота проведена из вершины С?
УдалитьЗдравствуйте, Галина Станиславовна!
ОтветитьУдалитьСпасибо за задачи. Если не мог решить, смотрел в ответы и вспоминал, как и что. Пост очень полезный. Можно проверить себя, понять, если что-то забыл.
Спасибо, мне понравилось!
Ренат
Ренат, добрый вечер. Эта контрольная нам предстоит лишь во второй половине учебного года. Ещё успеем подготовиться, а я ещё опубликую новые задачи...
УдалитьА вот в октябре КДР по алгебре. И первую подготовку начнем уже завтра.
Не согласен с последней задачей. Любая задача должна определяться в условиях. А в этой задаче решающий закладывает дополнительное условие в самом решении, по своему желанию определив координату точки В(0,х). Это и козе понятно,что угол будет прямой. Проведи окружность радиуса 13 с центром в точке D. Точка В может быть на этой окружности где угодно, если конечно парралелограмм не сложится в линию.
ОтветитьУдалитьПост писала давно, ваш комментарий, Сергей, заставил вспомнить моменты его написания. Тогда математики активно общались перед публикацией подобного, а потому я просто обратилась к коллеге из Тернополя с предложением решить задачу совместно. Почему? Да просто это было интересно нам обеим!
УдалитьТак и родилось решение координатно-векторным методом (это не моё решение, моя лишь запись). Сейчас векторы проходим в 9 классе и мои нынешние восьмиклассники о них ещё не имеют ни малейшего представления.
Но ничего менять не буду. Если хотите - присылайте ваш вариант решения))) И это будет интересно.
Спасибо за внимательность!