Задачи КДР по геометрии с решениями. 8 класс.

 Предлагаю решение пятого варианта  КДР по геометрии 2012 года, для учащихся 8 классов. Варианты КДР по геометрии 2012 года можно посмотреть здесь

ЗАДАЧА 1. ABCD – прямоугольник. О - точка пересечения АС и BD. Угол BOC=120º. Найдите угол DАО ( см. рис. 1 ).

Рис.1

Решение.  Угол DAO можно найти, рассмотрев треугольник  DOA.  Треугольник равнобедренный.  Угол DOA равен углу BOC, так как они вертикальные. Сумма углов при основании треугольника DOA  равна 180-120=60. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то искомый угол DAO равен 60/2=30. Ответ: 30⁰.

ЗАДАЧА 2. Дан треугольник АВС. KF – средняя линия треугольника АВС. АВ=10, ВС=8, АС=12. Найдите периметр треугольника BKF (см. рис. 2).

Рис.2

Решение. Для решения достаточно вспомнить, что средняя линия треугольника равна половине его основания. Следовательно KF=12:2=6. Из определения средней линии следует, что KB=10:2=5; а BF=8:2=4. Находим периметр треугольника BKF  P=5+4+6=15.

ЗАДАЧА 3. АВС – прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8, 10. Найдите косинус угла треугольника АВС, лежащего против меньшего катета.

Рис. 3

Решение.  Начертим рисунок по заданному условию. Так как гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше его катетов, то сторона, равная 10 – это гипотенуза. Катеты расположим произвольно (см. рис. 3). На чертеже отметим искомый угол.  Косинусом угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Т.е. 8/10.

ЗАДАЧА 4. ABCD – параллелограмм. АС – его диагональ. Угол BCА=35º, угол ADC=100º. Найдите угол АСD.

Рис.4

Решение. Составляем чертеж по условию (см. рис. 4). При параллельных прямых BC и AD, и секущей AC, углы BCA и DAC являются внутренними накрест лежащими углами. Эти углы равны, следовательно угол DAC=35⁰. Рассмотрим треугольник ADC. Сумма углов треугольника равна 180⁰. Два угла нам известны, найдем третий 180 - (100+35)=45. Ответ: 45⁰.

ЗАДАЧА 5. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона и большее основание равны по 20 см, острый угол равен 60º. Найдите меньшее основание.

Рис.5

Решение. По условию задачи составим чертеж (см. рис. 5). Проведем отрезок BK, параллельный отрезку CD. Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник ABK.

Теперь осталось найти меньшее основание BC= AD-AK=20-10=10. 

Задачу можно решить намного проще, если вспомнить, что в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий  углу  30º  ( угол ABK) равен половине гипотенузы. Следовательно AK=10. Отсюда находим, что BC=10.

Ответ: 10 см.

ЗАДАЧА 6. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8:15, гипотенуза равна 51. Найдите периметр этого треугольника.

Решение. Приведу решение без предварительного составления чертежа. Катеты прямоугольного треугольника равны 8x и 15x. Используя теорему Пифагора, получим: 51²=(8x)²+(15x)². Решив данное уравнение, получим, что x=3. Следовательно стороны треугольника равны соответственно 24 и 45.

Если у кого-то есть интересные задачи КДР по геометрии прошлых лет для восьмиклассников, то просьба поделиться. Порешаем…

ЗАДАЧА 7. В параллелограмме большая сторона равна 25 . Меньшая высота  равна 12. Меньшая диагональ - 20. Найдите угол между этой диагональю и меньшей стороной.

Рис.6

Решение. По условию составляем чертеж. Рассмотрим треугольник BKD. По теореме Пифагора находим KD: 20²=12²+x². Откуда x=16. Отрезок AK=AD-KD=25-16=9. Теперь, рассмотрев треугольник ABK, по т. Пифагора найдем меньшую сторону AB=15. Для нахождения угла BDC перейдем к треугольнику BDC, где убеждаемся, что теорема Пифагора, а именно 25²=20²+15², нам показывает, что наш треугольник прямоугольный, следовательно, искомый угол равен 90⁰.  Ответ: 90⁰.

ЗАДАЧА 8. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Угол AOD равен 110⁰. Угол DBC равен 30⁰. BD=2AB. Найти углы параллелограмма.

Рис. 7

Решение. По условию составляем чертеж. Черным на чертеже показаны исходные данные. Красным – то, что мы находим. Немного поясню. 1. Угол BOC=110⁰ (свойство вертикальных углов). 2. Рассматриваем треугольник BOC и находим неизвестный угол BCO (40⁰). 3. Угол DAO=BCO=40⁰; угол CBO=ADO=30⁰ (внутренние накрест лежащие углы). 4. По условию AB=BO, следовательно треугольник  ABO равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Значит BAO=DCO=70⁰. Осталось только записать ответ. Ответ: Угол A=C=110⁰; угол B=D=70⁰.

 ЗАДАЧА, предложенная в комментариях к посту.  На стороне АD параллелограмма АВСD взята точка Е так, что АЕ = 4, ЕD = 5, ВD = 13. Докажите, что треугольник ВЕD прямоугольный, и найдите площадь параллелограмма.

Решение: Рассмотрим этот чертеж с пояснениями (рисунок можно увеличить)