Геометрические построения - интересная задача для 9 класса.

    Этот пост - исключительно для учеников 9 классов. 

В самом начале этого учебного года задала ученикам домашнее задание на геометрическое построение треугольника. Задача помечена звёздочкой, что означает повышенный уровень сложности. Предвидя результат "выполнения" именно этого домашнего задания, публикую пост, напоминающий некоторые принципы геометрических построений.

ЗАДАЧА.  Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

РЕШЕНИЕ. 

1.  Величину медианы и углов выбираем произвольно. Я выбрала два острых угла разной градусной меры (см. рис. 1). Из инструментов имеем только циркуль и линейку.

Рис.1

2.

2.1. Проводим произвольную прямую, на которой выбираем произвольную точку О. От точки О в обе стороны циркулем  откладываем равные отрезки  OA₀  и  OC₀ . От точек A₀ и  C₀ откладываем заданные в условии углы. 

Напомню, как это делается:

  Проводим произвольную окружность, с центром в точке A.  Окружность такого же радиуса проводим с центром в точке  A_0.  Измеряем циркулем на рис.1 расстояние между точками 1 и 2. Откладываем это расстояние, как показано на рис.2. Через точки A₀ и 1 проводим луч – угол α построен. Аналогично строим угол β.

Таким образом мы построили треугольник A₀BC₀ . Углы α и β соответствуют заданным в условии. Осталось "поработать" с медианой.  Заданную в условии медиану BM отложим на получившейся медиане BO, треугольника A₀BC₀.

Рис.2

2.2. Для построения искомого треугольника осталось начертить прямую, параллельную прямой A₀C₀, и проходящую через точку M. 

2.3. Прямую, параллельную данной, можно начертить через две точки, расположенные от неё на одном расстоянии в одной полуплоскости. Опустим из точки M перпендикуляр на прямую A₀C₀ (вспомнить построение перпендикуляра к прямой через заданную точку - 7 класс).  От произвольной точки K₁ проведем окружность с центром в точке K₁ и радиусом MM_{1 .}Восстановив перпендикуляр к прямой из точки K₁, находим точку K на пересечении нашего перпендикуляра и проведенной ранее окружности.

2.4. Итак, точки M и K лежат в одной полуплоскости и расположены на одном расстоянии от прямой A₀C₀. Через две точки можно провести только одну прямую, что мы и делаем.

Треугольник ABC построен (см. рис.3), его углы и медиана соответствуют заданным в условии.

 

Рис.3