Квадратный трехчлен и его график

          Рассмотрим многочлен  ax² + bx + c, где a, b, c – коэффициенты, причем a не равно нулю. Его обычно называют квадратным трёхчленом , а графиком функции является парабола. Осью параболы y = ax² + bx + c служит прямая x= - b/2a (1) . По этой же формуле вычисляется абсцисса x₀ вершины параболы. Формулу для нахождения ординаты y₀ вершины параболы запоминать не нужно, так как если известна абсцисса, то всегда по формуле y₀=f(x₀)  можно вычислить ординату. Рассмотрим для наглядности два примера построения графиков квадратного трехчлена.

        1.  Построить график функции y=x² –x –2.

Ветви параболы направлены вверх, так как a=1 (a>0). Ось симметрии находим по формуле (1) x=0,5. Координаты вершины параболы:

 

     Решив квадратное уравнение x² –x –2=0, находим нули функции: x₁=2; x₂= -1. Точка пересечения параболы с осью Оy: x=0; y= -2. Для точности построения находим дополнительные точки, задав некоторые значения переменной x. Например точки А(3;4) и В(4;10).  По полученным данным строим график параболы (рис.1).

Рис.1

        2. Построить график функции y= - x² +6x –9. 

Ветви параболы направлены вниз, так как a= -1 (a<0). Ось симметрии находим по формуле (1) x=3. Координаты вершины параболы:  x=3; y=0. Точка пересечения параболы с осью Оy: x=0; y= -9.  Дополнительные точки: А(4;-1) и В(2;-1). По полученным данным построим график функции (рис.2).

Рис 2

Алгоритм построения параболы y = ax² + bx + c:

1. Найти координаты вершины параболы (по формуле (1)), отметить на координатной плоскости эту точку и провести ось параболы. Определиться с направлением ветвей параболы (вниз или вверх).
2. Отметить на оси x две точки, симметричные относительно оси параболы и найти значения функции в этих точках; построить эти точки.
3. Провести параболу через полученные точки ( при необходимости берут ещё пару дополнительных точек, симметричных относительно оси параболы). 

Зная алгоритм построения, можно значительно сократить время на дальнейшее исследование графика функции.