Задача о трисекции угла (для слушателей краевых заочных математических курсов «Юниор»)

Этот пост публикую в помощь моим ученикам – слушателям заочных курсов «Юниор», а также всем, кто интересуется геометрическими построениями.

Итак, Задача №1: Дан угол в 63⁰. С помощью циркуля и линейки разделите его на три равные части.

Первый способ. Пьер Ванцель ещё в 1837 году опубликовал работу, доказывающую неразрешимость древней задачи о трисекции угла при помощи циркуля и линейки. Так, невозможно, по его мнению, разделить на три равных угла, угол в 60⁰. Однако,  давайте не будем забираться в математические дебри, ведь задача предложена для решения восьмиклассникам. Способ, который мне нравится больше всего – использование невсиса.

Вот само построение. 

Продолжим сторону ВС нашего угла и построим на ней окружность произвольного радиуса a с центром в точке В. Стороны угла пересекаются с окружностью в точках А и С. Возьмём невсис, отложим на нем отрезок a, и, используя точку А в качестве центра, строим отрезок В₁С₁, равный а, так, как показано на чертеже. Получим угол АВ₁С, равный 21⁰ (рис. а). После этого останется только отложить два угла, равных 21⁰ от луча ВС. Это уже простое геометрическое построение из курса геометрии 7 класса (рис. б).

Вот доказательство приемлемости этого способа, хотя оно и не требуется от восьмиклассников, ведь им надо только предложить свой способ построения.

Док-во: Обозначим ɤ углы при основании равнобедренного треугольника В₁С₁В. Тогда угол АС₁В=2ɤ, как внешний угол треугольника В₁С₁В. Но и треугольник АВС₁ тоже равнобедренный. Следовательно, угол β=180-4ɤ. С другой стороны имеем, что угол β=180-ɤ-α. Приравняв правые части равенств, получим

180-4ɤ=180-ɤ-α.

Откуда имеем α=3ɤ.

Второй способ. Возможно, что именно этот способ, как наиболее приемлемый, будет засчитан, как правильный при проверке работ наших заочников. Здесь не используется такое чудо техники, как невсис, а значит и построение с помощью циркуля и линейки удовлетворяет основному требованию  к способу решения этой задачи.

Строим угол в 63⁰. Угол АВС. Делаем дополнительное построение (с помощью циркуля) – равносторонний треугольник ВКС, как показано на рисунке. Получившийся угол АВК=3⁰. Восстанавливаем в точке В перпендикуляр ВМ. От луча ВА дважды отложим угол в три градуса. Получившийся угол МВА=21⁰. Теперь остаётся только дважды отложить от луча ВС угол, равный 21⁰ , разделив угол АВС на три равных угла. Это уже на чертеже не показываю, ведь основа - нахождение угла в 21⁰

Наверно мои ученики выберут тот способ, который для них будет более понятен, я же, в свою очередь, показала бы все, дабы комиссия выбирала из них тот, который считает нужным в данном случае (никаких пояснений восьмиклассникам предложено не было, потому не известно, какой результат будет более приемлемым при подведении итогов этой работы).

И ещё одна задача на построение, которая предлагалась для решения в предыдущем задании для заочников.

Задача №2. С помощью циркуля (и только циркуля!) построить середину отрезка. Как построить середину отрезка с помощью циркуля и линейки мы проходили ещё в 7 классе, а вот как быть, если линейку у нас отобрали. Это уже олимпиадная задача и вот её решение. Тут снова без комментариев, и так все достаточно наглядно. N - искомая середина отрезка АВ.

Желаю успехов своим заочникам и тем, кто принимает участие в подобных математических мероприятиях.