четверг, 26 февраля 2015 г.

Задача о трисекции угла (для слушателей краевых заочных математических курсов «Юниор»)

Этот пост публикую в помощь моим ученикам – слушателям заочных курсов «Юниор», а также всем, кто интересуется геометрическими построениями.
Итак, Задача №1: Дан угол в 630. С помощью циркуля и линейки разделите его на три равные части.
Первый способ. Пьер Ванцель ещё в 1837 году опубликовал работу, доказывающую неразрешимость древней задачи о трисекции угла при помощи циркуля и линейки. Так, невозможно, по его мнению, разделить на три равных угла, угол в 600. Однако,  давайте не будем забираться в математические дебри, ведь задача предложена для решения восьмиклассникам. Способ, который мне нравится больше всего – использование невсиса.

Вот само построение. 

Продолжим сторону ВС нашего угла и построим на ней окружность произвольного радиуса a с центром в точке В. Стороны угла пересекаются с окружностью в точках А и С. Возьмём невсис, отложим на нем отрезок a, и, используя точку А в качестве центра, строим отрезок В1С1, равный а, так, как показано на чертеже. Получим угол АВ1С, равный 210 (рис. а). После этого останется только отложить два угла, равных 210 от луча ВС. Это уже простое геометрическое построение из курса геометрии 7 класса (рис. б).
Вот доказательство приемлемости этого способа, хотя оно и не требуется от восьмиклассников, ведь им надо только предложить свой способ построения.

Док-во: Обозначим ɤ углы при основании равнобедренного треугольника В1С1В. Тогда угол АС1В=2ɤ, как внешний угол треугольника В1С1В. Но и треугольник АВС1 тоже равнобедренный. Следовательно, угол β=180-4ɤ. С другой стороны имеем, что угол β=180-ɤ-α. Приравняв правые части равенств, получим
180-4ɤ=180-ɤ-α.
Откуда имеем α=3ɤ.

Второй способ. Возможно, что именно этот способ, как наиболее приемлемый, будет засчитан, как правильный при проверке работ наших заочников. Здесь не используется такое чудо техники, как невсис, а значит и построение с помощью циркуля и линейки удовлетворяет основному требованию  к способу решения этой задачи.

Строим угол в 630. Угол АВС. Делаем дополнительное построение (с помощью циркуля) – равносторонний треугольник ВКС, как показано на рисунке. Получившийся угол АВК=30. Восстанавливаем в точке В перпендикуляр ВМ. От луча ВА дважды отложим угол в три градуса. Получившийся угол МВА=210. Теперь остаётся только дважды отложить от луча ВС угол, равный 210 , разделив угол АВС на три равных угла. Это уже на чертеже не показываю, ведь основа - нахождение угла в 210

Наверно мои ученики выберут тот способ, который для них будет более понятен, я же, в свою очередь, показала бы все, дабы комиссия выбирала из них тот, который считает нужным в данном случае (никаких пояснений восьмиклассникам предложено не было, потому не известно, какой результат будет более приемлемым при подведении итогов этой работы).

И ещё одна задача на построение, которая предлагалась для решения в предыдущем задании для заочников.

Задача №2. С помощью циркуля (и только циркуля!) построить середину отрезка. Как построить середину отрезка с помощью циркуля и линейки мы проходили ещё в 7 классе, а вот как быть, если линейку у нас отобрали. Это уже олимпиадная задача и вот её решение. Тут снова без комментариев, и так все достаточно наглядно. N - искомая середина отрезка АВ.

Желаю успехов своим заочникам и тем, кто принимает участие в подобных математических мероприятиях.

4 комментария :

  1. Галина,

    Надеюсь, что ученики смогут оценить по достоинству данный пост!
    Я же от математики очень далека ;)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Татьяна,я уже завтра проверю, как ребята справились с построением, ведь эта пятница - последний срок сдачи работ этого года... Казалось бы только начали, а уже подводим итоги ;)

      Удалить
  2. Euhhhh ..... для меня это все абракадабра !!!! ???
    *****************
    Euhhhh ..... for me this is all abracadabra !!!! ???

    ОтветитьУдалить
  3. Как я обожала эти углы в школе!!!
    Не могла пройти мимо поста с темой "о трисекции угла" :)

    ОтветитьУдалить

Вы хотите оставить комментарий, но не знаете, КАК? Очень просто!
- Нажмите на стрелку рядом с окошком Подпись комментария.
- Выберите Имя/URL (никто не любит анонимов)
- Наберите своё имя, строчку URL можете оставить пустой.
- Нажмите Продолжить
- В окошке комментария напишите то,что хотели
- Нажмите Публикация.
Если вы хотите разместить изображение в комментарии, то используйте теги [im#]...[/im], вместо точек вставляем URL картинки.
Спасибо!

LinkWithin

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...