Задачи №6 КДР по геометрии (8 класс), решения.

Предлагаю для рассмотрения три задачи (№6) КДР по геометрии прошлых лет (8 класс). Для успешного тестирования (на оценку "5") необходимо набрать 7 баллов, так что эти "весомые" двухбалльные задачи стоят того, чтобы за них взяться!

Задача 1. В треугольнике ABC стороны AB : BC : AC относятся как 4:5:3 соответственно.

Найдите высоту AH данного треугольника, если его периметр равен 108.

Решение:

На чертеже к задаче укажем все известные данные из условия. Так, стороны равны соответственно 4x, 5x, 3x. Составим уравнение:

4x  + 5x  + 3x   = 108; откуда x=9.

Сторона AC= 27; сторона AB=36; сторона BC= 45. Используя теорему, обратную теореме Пифагора, делаем вывод, что треугольник прямоугольный.

Далее проводим искомую высоту AH. Находим два подобных треугольника (они, как прямоугольные, подобны по острому углу), и, рассматривая соотношения их сторон, составляем уравнение для нахождения искомой высоты. Всё показано ниже, в приложении.

Ответ: AH=21,6.

Задача 2. Дан треугольник ABC . Известно, что ˂C : ˂A: ˂B относятся как

2:1:1 соответственно. Найдите высоту CH данного треугольника, если   

 Решение:

Исходя из данного в условия соотношения углов, делаем вывод, что треугольник ABC равнобедренный. Находим углы:

Наш равнобедренный треугольник оказался ещё и прямоугольным, следовательно мы можем применить те начальные тригонометрические знания, которые получили в 8 классе, для нахождения искомой высоты. См. чертеж и решение внизу

Ответ: CH=1.

Задача 3. Дан треугольник ABC . Известно, что ˂C : ˂A : ˂B как 3:1:2 соответственно.

Найдите высоту CH данного треугольника, если CB = 5 .

Решение:

В самом начале находим углы треугольника (см. чертеж ниже). Треугольник ABC прямоугольный.

Далее рассуждаем так

Можно решить проще - катет CH треугольника ACH равен половине найденной гипотенузы CA. Любой способ, приводящий к верному решению, допустим!

Варианты КДР 2013 года можно посмотреть здесь, а ответы и критерии оценки работ - здесь.

Всем удачи!