КРАСИМ ЗАБОРЫ: задачи на совместную работу (+ впечатления после курсов)

Имею я пирожных горы

И есть, что есть, и есть что пить!

Но крашу, крашу я заборы,

Чтоб тунеядцем не прослыть...

(Песенка Царя из м/ф «Вовка в тридевятом царстве»)

Всё ближе ОГЭ, всё больше дрожат коленки у тех, кто к экзамену готовится, всё больше учителя уделяют внимание заданиям с развернутым ответом. Песенку не просто так вспомнила. Столько задач про пресловутые заборы и их покраску различным контингентом граждан пришлось рассмотреть на курсах, что некоторое время эти заборы будут точно сниться. Посмотрев задачи №22 в сборнике МАТЕМАТИКА. 9 класс. ОГЭ. 30 вариантов типовых тестовых заданий - 2016 (под ред. И.В. Ященко), видим, что в основном там все задачи на движение, которые дети  более, или менее хорошо решают.  А вот «заборов» всего два. Есть ещё две «трубы», наполняющие бассейн. Эти задачи на совместную работу не сильно жалуют ученики, более того, не очень умеют грамотно их оформить. Потому решила отметить несколько задач, попутно записав все ТО, что может не понравиться экзаменаторам (может быть, кому-то понадобится, но для меня этот пост, как записка на память).

Задача 1. (тест 22 указанного сборника)

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько минут (!) мальчики покрасят забор, работая втроём?

Решение (1 способ).

Мне кажется, что объяснить детям задачу проще именно этим способом. Итак, для сокращения назовем мальчиков просто И, П и В. И и П красят за час 1/9 часть забора. П и В – 1/12. В и И – 1/18. Работая вместе за один час И+П+П+В+В+И покрасят

1/9 + 1/12 + 1/18 = 1/4

часть забора. Т.е. два Игоря, два Паши и два Володи покрасят весь забор за 4 часа. Работая совместно втроем, они покрасят его за 8 часов. Осталось прочитать ещё раз вопрос задачи и не допустить снижения оценки, если мы не переведем часы в минуты

8 * 60 = 480 мин.

Решение (2 способ).

Пусть вся работа по покраске равна 1.

Составим таблицу

	Производительность	Работа
Игорь	x	1
Паша	y	1
Володя	z	1
И+П+В	x+y+z	1

При совместной работе И и П покрасят забор за 9 часов, значит (x+y)9=1.  П и В за 12 часов, значит (y+z)12=1. В и И за 18 часов, имеем (x+z)18=1.

Решаем систему из трех уравнений с тремя переменными и получаем тот же ответ. Решение более громоздкое, но некоторые считают этот вариант самым приемлемым (классическим).

Ответ: 480 мин.

Задача 2. (тест 9 сборника)

Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 100 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?

Решение.

Всегда смотрим на вопрос задачи и стараемся принять за x искомую величину.

Пусть x л/мин пропускает первая труба, тогда (x+15) л/мин – пропускает вторая. Разделив объем (л) на скорость его заполнения (л/мин) мы получим время заполнения (мин), после чего составим уравнение:

100/x – 100/(x+15) = 6

При составлении уравнения не забываем, что из большей величины вычитаем меньшую!

При решении этого уравнения получаем два корня x= -25;  x=10.  Первый корень посторонний, второй – ответ нашей задачи.

В этом году экспертов «подвели» к единому мнению не считать отсутствие ОДЗ при решении дробно-рациональных уравнений (в задачах!) поводом для снижения балла. Дословно из критериев: «При решении д-р уравнения, полученного в задаче, необязательно требовать от выпускника проверки условия не равенства нулю знаменателя»

Ответ: 10 л/мин.

Задача 3.

Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой – за шесть. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение.

И снова используем первый способ решения первой задачи. Первый мастер выполняет 1/12 работы за час, второй – 1/6. Работая вместе, они выполнят

1/12 + 1/6 =1/4

работы в час. Выходит, что вся работа будет выполнена за 4 часа.

Ответ: 4 ч.

Задача 4. (ещё одна задача с «удобным» решением)

Первый насос заполняет водой бак за 30 минут, второй - за 20 минут, а третий - за 1 час. За сколько минут заполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение.

При таких «удобных» числах можно привести такое решение. Первый насос за 1 час работы заполнит 2 бака. Второй заполнит 3 бака. Третий – 1 бак. Работая совместно, насосы заполнят 6 баков за час. Следовательно, составив пропорцию, показываем, что один бак они заполнят при совместной работе за 10 минут.

Такое краткое решение когда-то трехбалльной задачи тоже допустимо, если в нем присутствует подробное объяснение решения и ни один шаг «цепочки» не пропущен.

Ответ: 10 мин.

Задача 5.

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Решение.

1 и 2 насосы заполнят за минуту 1/9 часть бассейна. 2 и 3 – 1/14 часть бассейна. 1 и 3 – 1/18. Работая вместе в одну минуту насосы в удвоенном  количестве (1+2+3) заполнят

1/9 + 1/14 + 1/18 = 5/21 бассейна.

Весь бассейн насосы заполнят за 21/5 минуты, или за 4,2 минуты. Помня, что каждый из насосов был учтен два раза, мы умножаем полученную величину на 2 и получаем ответ – 8,4 минуты.

Ответ: 8,4 мин.

Это были относительно лёгкие задачи. Теперь рассмотрим ещё две, в которых надо будет ввести две переменные x и y.

Задача 6.

Два экскаватора, работая вместе, могут выкопать котлован за 12 дней. Первый, работая отдельно, может выкопать этот котлован на 10 дней быстрее, чем второй. За сколько дней может выкопать котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?

Решение.

В самом вопросе есть подсказка, что принят за x и что за y.

Пусть x – количество дней, за которые 1 экскаватор выкопает котлован; y – количество дней, за которые 2 экскаватор выкопает котлован. Составим первое уравнение системы: 

y – x =10

1/x – часть котлована, которую за день выкопает первый экскаватор; 1/y – часть котлована, которую за день выкопает второй экскаватор. Вместе за день они копают 1/12 часть всего котлована. Составим второе уравнение системы:

1/x + 1/y = 1/12

Из первого уравнения системы выразим переменную y = x+10 и подставим во второе уравнение

1/x + 1/(x+10) = 1/12

Приводим к общему знаменателю, упрощаем и, решив получившееся квадратное уравнение,  получаем два корня. Один из них отрицательный – посторонний. Тогда 

x = 20    y = 10 + 20 = 30

Ответ: за 20 и 30 дней соответственно.

Задача 7.

Два рабочих, выполняя задание вместе, могут закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать один рабочий и выполнит половину работы, а потом его заменит второй рабочий, то все задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней каждый из них сможет самостоятельно выполнить задание?

Решение.

Пусть x – количество дней, за которые выполнит задание 1 рабочий; y – количество дней, за которые выполнит задание 2 рабочий. Тогда 1/x – часть работы, которую выполнит за день 1 рабочий; 1/y – часть работы, которую выполнит за день 2 рабочий. Вместе за день они выполнят 1/12 часть работы. Составим первое уравнение системы:

1/x + 1/y = 1/12

Количество дней, за которые первый рабочий выполнит половину работы равно x/2; количество дней, за которые второй рабочий выполнит половину работы - y/2. Второе уравнение системы:

x/2 + y/2 = 25

Из второго уравнения следует, что x + y = 50. Первое уравнение приводим к общему знаменателю и подставляем в него значение x + y. Решая систему из уравнений

x + y = 50 и

50/xy = 1/12

получаем ответ x = 20, y = 30, или  x = 30,  y = 20.

Ответ: 20 и 30, или 30 и 20.

  P.S. Других задач про заборы (и не только) на сайте ФИПИ (в разделе для предметных комиссий ОГЭ) великое множество. Не мешало бы с теми вариантами некорректных решений, которые писали выпускники прошлых лет, ознакомить тех, кто будет сдавать экзамен в этом году… Как часто из-за элементарного упущения при оформлении задачи, неточного построения графика, излишних комментариев при доказательстве утверждения, грамотный ученик лишается баллов, которые вполне мог бы получить. Мне кажется, что пост о том, какие типичные ошибки допускают выпускники и за что чаще всего снижают баллы стоит написать (задумалась...) А у НАШИХ пусть всё  будет окрашено равномерно получится и итоговые баллы будут ожидаемыми.

P.S.P.S  Обидно, что задания части 2 ОГЭ с разными уровнями сложности так «уровняли» по баллам. Правда теперь четверка начинается уже не с 16 баллов, а с 15-ти, так что может быть хоть это снижение «порога» при той же сложности заданий кого-то порадует.